यदि f(x) = int frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$. समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \i

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$4$

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(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$. समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^{2}} dx$. माना $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$. तब $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,जिसका अर्थ है $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$. इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = \int -\frac{dt}{t^{2}} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^{7}}{1 + x^{2} + 2x^{7}} + C$. चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = \frac{x^{7}}{x^{2} + 1 + 2x^{7}}$. $x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर: $f(1) = \frac{1^{7}}{1^{2} + 1 + 2(1)^{7}} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$. चूंकि $f(1) = \frac{1}{K}$,इसलिए $K = 4$ है।

यदि $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$,$(x \geq 0)$,$f(0) = 0$ और $f(1) = \frac{1}{K}$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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