यदि alpha, beta समीकरण x^{2}+bx+c=0 के भिन्न | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = x^{2}+bx+c$ है। चूंकि $\alpha, \beta$ मूल हैं,$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ होगा।जैसे $x \rightarrow \beta$,$f(x) \rightarrow 0$ होता

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$2(b^{2}-4c)$

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(C) माना $f(x) = x^{2}+bx+c$ है। चूंकि $\alpha, \beta$ मूल हैं,$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ होगा।जैसे $x \rightarrow \beta$,$f(x) \rightarrow 0$ होता है।टेलर श्रेणी विस्तार $e^{u} = 1 + u + \frac{u^{2}}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 2f(x)$:$\lim _{x \rightarrow \beta} \frac{e^{2f(x)}-1-2f(x)}{(x-\beta)^{2}} = \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{(1 + 2f(x) + \frac{(2f(x))^{2}}{2} + \dots) - 1 - 2f(x)}{(x-\beta)^{2}}$$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2(f(x))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2((x-\alpha)(x-\beta))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$$= \lim _{x \rightarrow \beta} 2(x-\alpha)^{2} = 2(\beta-\alpha)^{2}$चूंकि $(\beta-\alpha)^{2} = (\beta+\alpha)^{2} - 4\alpha\beta = (-b)^{2} - 4c = b^{2}-4c$,अतः सीमा $2(b^{2}-4c)$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}+bx+c=0$ के भिन्न मूल हैं,तो $\lim _{x \rightarrow \beta} \frac{e^{2(x^{2}+bx+c)}-1-2(x^{2}+bx+c)}{(x-\beta)^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(5)=7$ और $f'(5)=7$ है, तो $\lim_{x \rightarrow 5} \frac{x f(5)-5 f(x)}{x-5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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