જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x^{2} dy + (y - frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ છે.$x^{2} dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ મળે છે.આ

Vedclass · Accepted Answer

$3 - e$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ છે.$x^{2} dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x^{2}}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x^{3}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^{2}} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$.ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.$y e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^{3}} e^{-\frac{1}{x}} dx + C$.ધારો કે $t = -\frac{1}{x}$,તો $dt = \frac{1}{x^{2}} dx$ અને $\frac{1}{x} = -t$.$y e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.$t = -\frac{1}{x}$ મૂકતા,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.$y(1) = 1$ આપેલ છે,તેથી $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.આમ,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) - e^{-1}$.$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y e^{-2} = e^{-2}(1 + 2) - e^{-1} = 3e^{-2} - e^{-1}$.$e^{-2}$ વડે ભાગતા,$y = 3 - e^{-1} \cdot e^{2} = 3 - e$.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ માટે) નો ઉકેલ વક્ર હોય અને $y(1) = 1$ હોય,તો $y(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) એ કયા વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે?

ધારો કે $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ એ વિકલ સમીકરણ $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ છે. તો $\alpha + \beta - \gamma$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $x \sin x \frac{dy}{dx} + (x \cos x + \sin x)y = \sin x$ નો વ્યાપક ઉકેલ છે

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ નો ઉકેલ,જે $x = \frac{\pi}{3}$ હોય ત્યારે $y = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તે શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module