यदि x = x(y) अवकल समीकरण y frac{dx}{dy} = 2x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ है।$y$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = y^{2}(y+1)e^{y}$ प्राप्त

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$e^{3}(e^{e}-1)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ है।$y$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = y^{2}(y+1)e^{y}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = y^{2}(y+1)e^{y}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = \frac{1}{y^{2}}$ है।हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y^{2}(y+1)e^{y} \cdot \frac{1}{y^{2}} dy = \int (y+1)e^{y} dy$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int (y+1)e^{y} dy = (y+1)e^{y} - \int e^{y} dy = (y+1)e^{y} - e^{y} + C = ye^{y} + C$.अतः,$\frac{x}{y^{2}} = ye^{y} + C$,जिसका अर्थ है $x = y^{3}e^{y} + Cy^{2}$.चूँकि $x(1) = 0$ दिया गया है,$0 = (1)^{3}e^{1} + C(1)^{2} \Rightarrow C = -e$.इस प्रकार,हल $x = y^{3}e^{y} - ey^{2}$ है।$x(e)$ के लिए,$y = e$ रखने पर: $x(e) = e^{3}e^{e} - ee^{2} = e^{3}e^{e} - e^{3} = e^{3}(e^{e}-1)$.

यदि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ का हल है और प्रारंभिक शर्त $x(1) = 0$ है,तो $x(e)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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