यदि frac{6}{3^{12}} + frac{10}{3^{11}} + frac | vedclass

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Question

(D) माना $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \dots + \frac{10 \cdot 2^{10}}{3}$.श्रेणी को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $S =

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$12$

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(D) माना $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \dots + \frac{10 \cdot 2^{10}}{3}$.श्रेणी को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \dots + \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \right)$.कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = 1$,$r = \frac{2}{3}$,और $n = 11$ पद हैं।योग $= \frac{1(1 - (2/3)^{11})}{1 - 2/3} = 3 \left( 1 - \frac{2^{11}}{3^{11}} \right) = 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}}$.यह मान रखने पर: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}} \right) = \frac{6}{3^{12}} + \frac{30}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{96}{3^{12}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{32}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}}$.$2^n \cdot m$ के रूप में देखने पर,$n = 12$ और $m = 1$ प्राप्त होता है,अतः $m \cdot n = 12$.

यदि $\frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \frac{40}{3^{9}} + \dots + \frac{10240}{3} = 2^{n} \cdot m$,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $m \cdot n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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