यदि f(x)=(2011+x)^n है,जहाँ x एक वास्तविक चर | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया है $f(x) = (2011+x)^n$. $x=0$ के परितः $f(x)$ के टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास है: $f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime

Vedclass · Accepted Answer

$(2012)^n-1$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = (2011+x)^n$. $x=0$ के परितः $f(x)$ के टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास है: $f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$. चूंकि $f(x) = (2011+x)^n$,द्विपद विस्तार है: $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} x^k = (2011)^n + \binom{n}{1}(2011)^{n-1}x + \binom{n}{2}(2011)^{n-2}x^2 + \ldots + x^n$. दोनों विस्तारों में $x^k$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \binom{n}{k}(2011)^{n-k}$. दिया गया व्यंजक $S = f(0) + f^{\prime}(0) + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \ldots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}$ है। यह $(2011+1)^n$ के द्विपद विस्तार के पहले $n$ पदों का योग है,जिसमें अंतिम पद ($x^n$ पद जहाँ $k=n$) शामिल नहीं है। $S = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k$. हम जानते हैं कि $(2011+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k = S + \binom{n}{n}(2011)^0(1)^n$. अतः,$S = (2012)^n - 1$.

Similar Questions

$4 \{^nC_1 + 4 \cdot ^nC_2 + 4^2 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^{n-1} \cdot ^nC_n\}$ का मान क्या है?

यदि $f(x) = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \ldots + x^{n}$ है,तो $f^{\prime \prime}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$^nC_1 \sum_{r=0}^1 {^1C_r} + ^nC_2 \left( \sum_{r=0}^2 {^2C_r} \right) + ^nC_3 \left( \sum_{r=0}^3 {^3C_r} \right) + \dots + ^nC_n \left( \sum_{r=0}^n {^nC_r} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module