$4 \{^nC_1 + 4 \cdot ^nC_2 + 4^2 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^{n-1} \cdot ^nC_n\}$ का मान क्या है?

यदि $\sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) \cdot {}^{11}C_{r+1} = \frac{\alpha^{11}-11^{11}}{10^{10}}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए :

जब $(2m + 1)^{2n}$ $(m, n \in N)$ को $8$ से विभाजित किया जाता है,तो प्राप्त शेषफल क्या है?

$x \in R, x \neq -1$ के लिए,यदि $(1 + x)^{2016} + x(1 + x)^{2015} + x^2(1 + x)^{2014} + \dots + x^{2016} = \sum_{i = 0}^{2016} a_i x^i$ है,तो $a_{17}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(\alpha x^2 - 2x + 1)^{35}$ के विस्तार में गुणांकों का योग $(x - \alpha y)^{35}$ के विस्तार में गुणांकों के योग के बराबर है,तो $\alpha = $

यदि $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$ है,तो $\frac{a_2}{a_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।