यदि sum_{r=0}^{10} left( frac{10^{r+1}-1}{10^ | vedclass

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Question

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.$= \sum_{r=0}^{10} \left( 10 - \frac{1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r

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$20$

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(D) माना $S = \sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.$= \sum_{r=0}^{10} \left( 10 - \frac{1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.$= 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} - 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} \left( \frac{1}{10^{r+1}} \right)$.द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$S = 10(2^{11}-1) - 10((\frac{11}{10})^{11} - 1)$.$S = 10 \cdot 2^{11} - 10 - 10 \cdot \frac{11^{11}}{10^{11}} + 10$.$S = \frac{20^{11} - 11^{11}}{10^{10}}$.तुलना करने पर,$\alpha = 20$.

यदि $\sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) \cdot {}^{11}C_{r+1} = \frac{\alpha^{11}-11^{11}}{10^{10}}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए :

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