यदि int limits_{frac{1}{3}}^3 |log_e x| dx = | vedclass

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Question

(A) हम समाकलन $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ का मूल्यांकन करते हैं। चूँकि $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ के लिए $\log_e x < 0$ और $x \in [1, 3]$ क

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$20$

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(A) हम समाकलन $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ का मूल्यांकन करते हैं। चूँकि $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ के लिए $\log_e x $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 -\log_e x dx + \int_1^3 \log_e x dx$सूत्र $\int \log_e x dx = x \log_e x - x$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$I = -[x \log_e x - x]_{\frac{1}{3}}^1 + [x \log_e x - x]_1^3$$I = -[(1 \log_e 1 - 1) - (\frac{1}{3} \log_e \frac{1}{3} - \frac{1}{3})] + [(3 \log_e 3 - 3) - (1 \log_e 1 - 1)]$$I = -[-1 - (-\frac{1}{3} \log_e 3 - \frac{1}{3})] + [3 \log_e 3 - 3 + 1]$$I = -[-1 + \frac{1}{3} \log_e 3 + \frac{1}{3}] + [3 \log_e 3 - 2]$$I = -[-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \log_e 3] + 3 \log_e 3 - 2$$I = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \log_e 3 + 3 \log_e 3 - 2 = \frac{8}{3} \log_e 3 - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (2 \log_e 3 - 1) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{3^2}{e}) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{9}{e})$.इसकी तुलना $\frac{m}{n} \log_e (\frac{n^2}{e})$ से करने पर,हमें $m = 4$ और $n = 3$ प्राप्त होता है।ये सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं।अतः,$m^2 + n^2 - 5 = 4^2 + 3^2 - 5 = 16 + 9 - 5 = 20$.

यदि $\int \limits_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx = \frac{m}{n} \log_e \left(\frac{n^2}{e}\right)$,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं,तो $m^2 + n^2 - 5$ का मान $............$ है।

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