यदि y(x) = x^x, x 0 है,तो y^{prime prime}(2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $y(x) = x^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = x \ln x$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} y^{\prime} = 1 \cdo

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$4(\log_e 2)^2 - 2$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $y(x) = x^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = x \ln x$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} y^{\prime} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.अतः,$y^{\prime} = y(1 + \ln x) = x^x(1 + \ln x)$.अब,गुणन नियम का उपयोग करके $y^{\prime}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}[x^x] \cdot (1 + \ln x) + x^x \cdot \frac{d}{dx}[1 + \ln x]$$y^{\prime \prime} = x^x(1 + \ln x)(1 + \ln x) + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \ln x)^2 + x^{x-1}$.$x = 2$ पर:$y^{\prime}(2) = 2^2(1 + \ln 2) = 4(1 + \ln 2)$.$y^{\prime \prime}(2) = 2^2(1 + \ln 2)^2 + 2^{2-1} = 4(1 + \ln 2)^2 + 2$.अब $y^{\prime \prime}(2) - 2y^{\prime}(2)$ की गणना करने पर:$= 4(1 + \ln 2)^2 + 2 - 2[4(1 + \ln 2)]$$= 4(1 + 2\ln 2 + (\ln 2)^2) + 2 - 8 - 8\ln 2$$= 4 + 8\ln 2 + 4(\ln 2)^2 + 2 - 8 - 8\ln 2$$= 4(\ln 2)^2 - 2$.

यदि $y(x) = x^x, x > 0$ है,तो $y^{\prime \prime}(2) - 2y^{\prime}(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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