यदि f : R rightarrow R एक सतत फलन है जो int l | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. प्रथम समाकल को $\frac{\

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$-\sqrt{2}$

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(D) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. प्रथम समाकल को $\frac{\pi}{4}$ पर विभाजित करें: $I = \int \limits_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \int \limits_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. प्रथम समाकल में,गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करें: $\int_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \sin(\frac{\pi}{4}-x) \, dx$. द्वितीय समाकल में $x = \frac{\pi}{4} + t$ प्रतिस्थापन करने पर: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2t) \sin(\frac{\pi}{4}+t) \, dt$. इन दोनों को जोड़ने पर: $\int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) [\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) + \alpha \cos x] \, dx = 0$. सूत्र $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर: $\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) = \sqrt{2} \cos x$. अतः,$(\sqrt{2} + \alpha) \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. इस प्रकार,$\alpha = -\sqrt{2}$.

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ऐसे सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ की संख्या कितनी है जिनके लिए सभी $x \in (0,1]$ के लिए $f(x) < x^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$ हो?

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{4}|x-1| d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x=$

$\int_{\pi / 5}^{3 \pi / 10} \frac{d x}{\sec ^2 x+\left(\tan ^{2022} x-1\right)\left(\sec ^2 x-1\right)}=$

यदि $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$ है,तो $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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