यदि beta = lim_{x rightarrow 0} frac{e^{x^3} | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया है $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^3} - (1 - x^3)^{1/3} + ((1 - x^2)^{1/2} - 1) \sin x}{x \sin^2 x}$।मानक सीमा $\lim_{x \

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$5$

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(A) हमें दिया गया है $\beta = \lim_{x ightarrow 0} \frac{e^{x^3} - (1 - x^3)^{1/3} + ((1 - x^2)^{1/2} - 1) \sin x}{x \sin^2 x}$।मानक सीमा $\lim_{x ightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,हर को $x \sin^2 x = x^3 \left(\frac{\sin x}{x}ight)^2 \approx x^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।टेलर श्रेणी का उपयोग करके पदों का विस्तार करने पर:$e^{x^3} = 1 + x^3 + O(x^6)$$(1 - x^3)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^6)$$(1 - x^2)^{1/2} - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$इन मानों को व्यंजक में रखने पर:$\beta = \lim_{x ightarrow 0} \frac{(1 + x^3) - (1 - \frac{1}{3}x^3) + (-\frac{1}{2}x^2) \cdot x}{x^3}$$\beta = \lim_{x}$ ${ightarrow 0} \frac{1 + x^3 - 1 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^3}{x^3} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.अतः,$6 \beta = 6 	imes \frac{5}{6} = 5$।

यदि $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^3} - (1 - x^3)^{1/3} + ((1 - x^2)^{1/2} - 1) \sin x}{x \sin^2 x}$ है,तो $6 \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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