यदि $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{e}{1-e}\right)\left(\frac{1}{e}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^x=\alpha$ है,तो $\frac{\log _e \alpha}{1+\log _e \alpha}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}} = $

मान लीजिए $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। कथन $(A) : \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x} = 1$. कारण $(R) : f(x) = x - 1, g(x) = [x], h(x) = x$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{h(x)}{x} = 1$.

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{63^x-9^x-7^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}=\ldots$.

$[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। यदि $\{x\}=x-[x]$ और $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x+[x])}{2-\{x\}}=\theta$ है,तो $\sin \theta+\cos \theta=$

वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $m$ और $n$ हैं,जहाँ $m = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \log(1+2x)}{x \tan x}$ और $n = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log x + \log(\frac{1+x}{x})}{x}$ है,वह है