यदि z = frac{sqrt{3} + i}{2} है,तो z^{69} का | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग कर

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$-i$

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(A) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{69} = \left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{69}$.$z^{69} = \cos\left(\frac{69\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{69\pi}{6}\right)$.$z^{69} = \cos\left(\frac{23\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{23\pi}{2}\right)$.चूंकि $\frac{23\pi}{2} = 11\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos\left(11\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 0$ और $\sin\left(11\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -1$.अतः,$z^{69} = 0 + i(-1) = -i$.

सूची-$I$ (व्यंजक)	सूची-$II$ (मान)
$A$. $\omega^{1010} + \omega^{2000}$	$I$. $0$
$B$. $(1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2)$	$II$. $1$
$C$. $(2 + \omega^2 + \omega^4)^5$	$III$. $-1$
$D$. $(3 + 5\omega + 3\omega^2)^3$	$IV$. $4$
	$V$. $8$

यदि $z = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ है,तो $z^{69}$ का मान क्या है?

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