यदि x वास्तविक है,तो फलन f(x) = frac{(x - a)( | vedclass

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Question

(D) माना $y = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$.तब $y(x - c) = x^2 - (a + b)x + ab$,जिसे $x^2 - (a + b + y)x + (ab + cy) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है

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$a < c < b$

Vedclass · Answer

(D) माना $y = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$.तब $y(x - c) = x^2 - (a + b)x + ab$,जिसे $x^2 - (a + b + y)x + (ab + cy) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए:$D = (a + b + y)^2 - 4(ab + cy) \ge 0$.इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 + 2y(a + b - 2c) + (a - b)^2 \ge 0$ प्राप्त होता है।फलन के सभी वास्तविक मान $y$ ग्रहण करने के लिए,$y$ में यह द्विघात समीकरण सभी $y$ के लिए अऋणात्मक होना चाहिए। चूँकि $y^2$ का गुणांक धनात्मक है,यह द्विघात समीकरण सभी वास्तविक मान लेगा यदि इसका विविक्तकर $D_y $D_y = [2(a + b - 2c)]^2 - 4(a - b)^2 $4(a + b - 2c)^2 - 4(a - b)^2 $(a + b - 2c)^2 - (a - b)^2 $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ का उपयोग करने पर:$(a + b - 2c - a + b)(a + b - 2c + a - b) $(2b - 2c)(2a - 2c) $4(b - c)(a - c) $(c - b)(c - a) यह असमिका तभी सत्य है जब $c$,$a$ और $b$ के बीच स्थित हो,अर्थात $a < c < b$ या $b < c < a$।

यदि $x$ वास्तविक है,तो फलन $f(x) = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$ सभी वास्तविक मान ग्रहण करेगा,यदि

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