यदि y = alpha log x + beta x^3 - x के x = -1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ है। फलन के $x = -1$ और $x = 1$ पर चरम मान होने के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ इन बिंदुओं पर शून्य ह

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$0$ और $\frac{1}{3}$

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(A) दिया गया फलन $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ है। फलन के $x = -1$ और $x = 1$ पर चरम मान होने के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ इन बिंदुओं पर शून्य होना चाहिए। सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{x} + 3\beta x^2 - 1$. $x = 1$ पर: $\frac{dy}{dx} = \alpha + 3\beta - 1 = 0 \implies \alpha + 3\beta = 1$. $x = -1$ पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{-1} + 3\beta(-1)^2 - 1 = 0 \implies -\alpha + 3\beta = 1$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(\alpha + 3\beta) + (-\alpha + 3\beta) = 1 + 1 \implies 6\beta = 2 \implies \beta = \frac{1}{3}$. $\beta = \frac{1}{3}$ को $\alpha + 3\beta = 1$ में रखने पर: $\alpha + 3(\frac{1}{3}) = 1 \implies \alpha + 1 = 1 \implies \alpha = 0$. अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ के $x = -1$ और $x = 1$ पर चरम मान (extreme values) हैं,तो $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः क्या हैं?

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यदि फलन $f(x)=xe^{-x}, x \in R$ अपना अधिकतम मान $\beta$, $x=\alpha$ पर प्राप्त करता है, तो $(\alpha, \beta)=$

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मान लीजिए $P(x)$ घात $3$ का एक बहुपद है जिसका $x=1$ पर चरम मान (extreme value) है। यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{P(x)+4}{x^2}+2\right)=6$ है, तो $\left(\frac{d P}{d x}\right)_{x=\frac{1}{2}}=$

$\left(\frac{1}{x}\right)^x$ का अधिकतम मान क्या है?

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