यदि x frac{dy}{dx} = y(log y - log x + 1) है, | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\f

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$\log \left(\frac{y}{x}\right) = cx$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.मान लीजिए $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन होगा $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$.$\log(u) = \log(x) + \log(c)$,जहाँ $\log(c)$ समाकलन स्थिरांक है।$\log(\log v) = \log(cx)$.दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\log v = cx$.$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

यदि $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ है,तो इस समीकरण का व्यापक हल क्या है?

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