मान लीजिए f(x) = sqrt{lim_{r rightarrow x} le | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.सीमा लेने पर,$f^2(

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$2$

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(C) दिया गया है $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.सीमा लेने पर,$f^2(x) = x f(x) f'(x) - x^3 e^{\frac{f(x)}{x}}$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $y = f(x)$,तो $y^2 = xy \frac{dy}{dx} - x^3 e^{\frac{y}{x}}$.$xy$ से भाग देने पर,$\frac{y}{x} = \frac{dy}{dx} - \frac{x^2}{y} e^{\frac{y}{x}}$ प्राप्त होता है।$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$v = v + x \frac{dv}{dx} - \frac{1}{v} e^v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{e^v}{v}$.चरों को अलग करने पर: $v e^{-v} dv = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v e^{-v} dv = \int \frac{dx}{x} \implies -e^{-v}(v+1) = \ln|x| + C$.$f(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$x=1, y=1 \implies v=1$. अतः,$-e^{-1}(2) = 0 + C \implies C = -2/e$.इस प्रकार,$-e^{-y/x}(\frac{y}{x} + 1) = \ln|x| - \frac{2}{e}$.$f(a) = 0$ के लिए,$y=0, x=a$,अतः $v=0$.$-e^0(0 + 1) = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies -1 = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies \ln|a| = \frac{2}{e} - 1$. हल करने पर $a = 2/e$ प्राप्त होता है,इसलिए $ea = 2$.

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