ધારો કે f(x) = sqrt{lim_{r rightarrow x} left | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.લક્ષ લેતા,$f^2(x) = x

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.લક્ષ લેતા,$f^2(x) = x f(x) f'(x) - x^3 e^{\frac{f(x)}{x}}$ મળે.ધારો કે $y = f(x)$,તો $y^2 = xy \frac{dy}{dx} - x^3 e^{\frac{y}{x}}$.$xy$ વડે ભાગતા,$\frac{y}{x} = \frac{dy}{dx} - \frac{x^2}{y} e^{\frac{y}{x}}$ મળે.$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$v = v + x \frac{dv}{dx} - \frac{1}{v} e^v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{e^v}{v}$.ચલ અલગ કરતા: $v e^{-v} dv = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v e^{-v} dv = \int \frac{dx}{x} \implies -e^{-v}(v+1) = \ln|x| + C$.$f(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1, y=1 \implies v=1$. તેથી,$-e^{-1}(2) = 0 + C \implies C = -2/e$.આમ,$-e^{-y/x}(\frac{y}{x} + 1) = \ln|x| - \frac{2}{e}$.$f(a) = 0$ માટે,$y=0, x=a$,તેથી $v=0$.$-e^0(0 + 1) = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies -1 = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies \ln|a| = \frac{2}{e} - 1$. ઉકેલતા $a = 2/e$ મળે,તેથી $ea = 2$.

Similar Questions

જો $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ હોય,તો સમીકરણનો ઉકેલ શું છે?

વિકલ સમીકરણ $(x-y-1) dy = (x+y+1) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ એ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ (homogeneous differential equation) હોય,તો $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module