अवकल समीकरण (x^2 + y^2)dx = 2xydy का हल ज्ञात | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dx = 2xydy$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण ह

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$x^2 - y^2 = cx$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dx = 2xydy$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1 + v^2)}{2x^2v} = \frac{1 + v^2}{2v}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1 - v^2| = \ln|x| + \ln|c|$।$-\ln|1 - v^2| = \ln|cx| \implies \ln|1 - v^2|^{-1} = \ln|cx| \implies \frac{1}{1 - v^2} = cx$।चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{1}{1 - (y/x)^2} = cx \implies \frac{x^2}{x^2 - y^2} = cx \implies x = c(x^2 - y^2)$।

अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dx = 2xydy$ का हल ज्ञात कीजिए।

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