अवकल समीकरण x cdot sin left(frac{y}{x}right) | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$ दोनों पक्षों को $dx \cdot x \sin

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$\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$ दोनों पक्षों को $dx \cdot x \sin \left(\frac{y}{x}\right)$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x}{x \sin \left(\frac{y}{x}\right)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)}$ माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$. तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$ $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v} = -\operatorname{cosec} v$ चरों को अलग करने पर: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$ $-\cos v = -\log |x| + c$ $\cos v = \log |x| + c$ $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + c$

अवकल समीकरण $x \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$ का हल है

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