अवकल समीकरण x left( frac{dy}{dx} right) = y l | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y \ln \left( \frac{y}{x} \right)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \

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$y = xe^{1 + cx}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y \ln \left( \frac{y}{x} \right)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $x(v + x \frac{dv}{dx}) = vx \ln(v)$.$x$ से भाग देने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v \ln(v)$.पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x \frac{dv}{dx} = v \ln(v) - v = v(\ln(v) - 1)$.चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{v(\ln(v) - 1)} = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v(\ln(v) - 1)} = \int \frac{dx}{x}$.माना $u = \ln(v) - 1$,तब $du = \frac{1}{v} dv$.अतः,$\int \frac{du}{u} = \ln|x| + C$.$\ln|\ln(v) - 1| = \ln|x| + C$.$\ln(v) - 1 = Cx$ (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है).$\ln(\frac{y}{x}) = 1 + Cx$.$\frac{y}{x} = e^{1 + Cx}$.$y = xe^{1 + Cx}$.

अवकल समीकरण $x \left( \frac{dy}{dx} \right) = y \ln \left( \frac{y}{x} \right)$ का व्यापक हल है:

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