अवकल समीकरण x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0 का | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y}{x^3 + y^3}$ प्राप्त होता है।

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$\log |y| - \frac{x^3}{3y^3} = c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y}{x^3 + y^3}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(vx)}{x^3 + (vx)^3} = \frac{vx^3}{x^3(1 + v^3)} = \frac{v}{1 + v^3}$।अतः, $x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^3} - v = \frac{v - v - v^4}{1 + v^3} = \frac{-v^4}{1 + v^3}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + v^3}{v^4} dv = -\frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-4} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$।इससे $-\frac{1}{3v^3} + \log |v| = -\log |x| + c$ प्राप्त होता है।$v = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{3(y/x)^3} + \log |\frac{y}{x}| = -\log |x| + c$।$-\frac{x^3}{3y^3} + \log |y| - \log |x| = -\log |x| + c$।अतः, $\log |y| - \frac{x^3}{3y^3} = c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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