$\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए कौन सा प्रतिस्थापन किया जाना चाहिए?

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$, $y(1) = \frac{\pi}{2}$ का हल है और मान लीजिए $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}})$ है। तो $p$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनके लिए समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ एक $r \leq 6$ त्रिज्या वाला वृत्त निरूपित करता है।

दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$ एक समघातीय अवकल समीकरण है और इसका हल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \sqrt{\lim_{r \rightarrow x} \left\{ \frac{2r^2 \left[(f(r))^2 - f(x)f(r)\right]}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right\}}$ अंतराल $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ में अवकलनीय है और $f(1) = 1$ है। तब $ea$ का मान,जिसके लिए $f(a) = 0$ है,किसके बराबर है?

अवकल समीकरण $(x + y)dx + xdy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

यदि $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$, $x > 0$ और $y(1) = \frac{\pi}{2}$ है, तो $\cos \left(\frac{y}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।