यदि x sin left(frac{y}{x}right) dy = left[y s | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$. माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v

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$\log x$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$. माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x \sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = vx \sin(v) - x$. $x$ से भाग देने पर: $\sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = v \sin(v) - 1$. $v \sin(v) + x \sin(v) \frac{dv}{dx} = v \sin(v) - 1$. $x \sin(v) \frac{dv}{dx} = -1$. चरों को पृथक करने पर: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$. $-\cos(v) = -\log|x| + C$. चूंकि $y(1) = \frac{\pi}{2}$, $x = 1$ पर $v = \frac{y}{x} = \frac{\pi/2}{1} = \frac{\pi}{2}$. $-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\log(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. अतः, $-\cos(v) = -\log x$, जिसका अर्थ है कि $\cos(\frac{y}{x}) = \log x$.

यदि $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$, $x > 0$ और $y(1) = \frac{\pi}{2}$ है, तो $\cos \left(\frac{y}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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