अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{2x^2 - xy - y | vedclass

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Question

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ है।माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण म

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$\sqrt{2} \log \left|\frac{y^2 - 2x^2}{x^2}\right| + \log \left|\frac{y - \sqrt{2}x}{y + \sqrt{2}x}\right| + 2\sqrt{2} \log |x| = c$

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(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ है।माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2} - v = \frac{v^3 - v^2 - 2v + 2}{1 - v^2} = \frac{(v^2 - 2)(v - 1)}{-(v^2 - 1)}$।चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{v^2 - 1}{(v^2 - 2)(v - 1)} dv = -\int \frac{dx}{x}$।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v+1}{v^2-2} = \frac{v}{v^2-2} + \frac{1}{v^2-2}$।समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \log |v^2 - 2| + \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -\log |x| + C$।$2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{2} \log |v^2 - 2| + \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -2\sqrt{2} \log |x| + C$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\sqrt{2} \log \left|\frac{y^2 - 2x^2}{x^2}\right| + \log \left|\frac{y - \sqrt{2}x}{y + \sqrt{2}x}\right| + 2\sqrt{2} \log |x| = c$।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ का व्यापक हल है

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