यदि किसी वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्शर | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sin^2\left( \frac{y}{x} \right)$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\fra

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$y = x \cot^{-1}(\log_e ex)$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sin^2\left( \frac{y}{x} \right)$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \sin^2 v$।इसे सरल करने पर $x \frac{dv}{dx} = -\sin^2 v$,या $-\csc^2 v \, dv = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int \csc^2 v \, dv = \int \frac{dx}{x}$।इससे $\cot v = \log_e x + C$,अर्थात $\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + C$ प्राप्त होता है।वक्र बिंदु $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से गुजरता है,इसलिए $\cot\left( \frac{\pi/4}{1} \right) = \log_e 1 + C$।चूंकि $\cot(\pi/4) = 1$ और $\log_e 1 = 0$,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$।इसलिए,$\frac{y}{x} = \cot^{-1}(\log_e ex)$,जिसका अर्थ है $y = x \cot^{-1}(\log_e ex)$।

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