अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x + y}{x - y} | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$।माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\f

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$c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{	an^{-1}(\frac{y}{x})}$, जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$।माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।$\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \ln|x| + C$।$	an^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C$।$	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C$।$	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + C$।$2	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln(x^2 + y^2) + 2C$।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{2	an^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{\ln(x^2 + y^2)} \cdot e^{2C} = k(x^2 + y^2)$।यह $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{	an^{-1}(\frac{y}{x})}$ के रूप से मेल खाता है।

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