मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण left((x+2) e^{le | vedclass

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Question

(B) माना $Y = y+1$ और $X = x+2$ है। तब $dY = dy$ और $dX = dx$ है।समीकरण में मान रखने पर: $(X e^{Y/X} + Y) dX = X dY$ प्राप्त होता है।पुनर्व्यवस्थित कर

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(B) माना $Y = y+1$ और $X = x+2$ है। तब $dY = dy$ और $dX = dx$ है।समीकरण में मान रखने पर: $(X e^{Y/X} + Y) dX = X dY$ प्राप्त होता है।पुनर्व्यवस्थित करने पर: $X dY - Y dX = X e^{Y/X} dX$ मिलता है।$X^2$ से भाग देने पर: $\frac{X dY - Y dX}{X^2} = \frac{e^{Y/X}}{X} dX$ प्राप्त होता है।यह $d(\frac{Y}{X}) = e^{Y/X} \frac{dX}{X}$ में सरल हो जाता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-Y/X} d(Y/X) = \int \frac{dX}{X} \Rightarrow -e^{-Y/X} = \ln|X| + C$ मिलता है।$y(1)=1$ का उपयोग करने पर,$Y=2$ और $X=3$ प्राप्त होता है: $-e^{-2/3} = \ln|3| + C$,अतः $C = -e^{-2/3} - \ln 3$ है।इस प्रकार,$-e^{-(y+1)/(x+2)} = \ln|x+2| - e^{-2/3} - \ln 3$ है।$e^{-(y+1)/(x+2)} = e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2|$ है।हल के अस्तित्व के लिए,$e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2| > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\ln|x+2| माना $k = e^{-2/3} + \ln 3$ है। तब $|x+2| अतः $\alpha = -e^k - 2$ और $\beta = e^k - 2$ है।तब $\alpha + \beta = -4$,इसलिए $|\alpha + \beta| = 4$ है।

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