x frac{dy}{dx} = y - x tan left( frac{y}{x} r | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x 	an \left( \frac{y}{x} ight)$ है।$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - 	an

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$x \sin \left( \frac{y}{x} \right) = c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x 	an \left( \frac{y}{x} ight)$ है।$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - 	an \left( \frac{y}{x} ight)$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - 	an v$।दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = - 	an v$।चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{	an v} = - \frac{dx}{x}$,जो $\cot v \, dv = - \frac{dx}{x}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = - \int \frac{1}{x} \, dx$।इससे $\ln |\sin v| = - \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln |\sin v| + \ln |x| = \ln |c| \Rightarrow \ln |x \sin v| = \ln |c|$।अतः,$x \sin v = c$। $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हमें $x \sin \left( \frac{y}{x} ight) = c$ प्राप्त होता है।

$x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ का व्यापक हल . . . . . . है।

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