यदि f(x) = sin^{-1}left(sqrt{frac{1-x}{2}}rig | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$.विधि $1$: श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके:$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}\l

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}ight)$.विधि $1$: श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके:$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}\left[\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}ight)ight] = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}ight)^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}ight)$$= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{2}}} \cdot \left(-\frac{1}{2}ight)$$= \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}ight)$$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}ight) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.विधि $2$: प्रतिस्थापन (substitution) का उपयोग करके:माना $x = \cos 	heta$,तब $\sqrt{\frac{1-x}{2}} = \sqrt{\frac{1-\cos 	heta}{2}} = \sqrt{\frac{2\sin^{2}(	heta/2)}{2}} = \sin(	heta/2)$.अतः,$f(x) = \sin^{-1}(\sin(	heta/2)) = 	heta/2 = \frac{1}{2}\cos^{-1}(x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}ight) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.अतः,सही विकल्प $A$ है.

यदि $f(x) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$ है,तो $f^{\prime}(x) = $

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यदि $y = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ है,तो $dy/dx = $

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और $f(1) = 4$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 1} \int_{4}^{f(x)} \frac{2t \, dt}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x=\frac{1}{2}$ पर $\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)$ का $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sqrt{1-x^{2}}}{1-2 x^{2}}\right)$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।

यदि $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^2}\right)}{\log \left(ex^2\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$ है,तो $\frac{d^2 y}{dx^2}=$

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