यदि int e^{x^2} cdot x^3 , dx = e^{x^2} f(x) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx = e^{x^2} f(x) + C$. माना $I = \int e^{x^2} \cdot x^2 \cdot x \, dx$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt

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$\frac{3}{2}$

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(A) दिया गया है $\int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx = e^{x^2} f(x) + C$. माना $I = \int e^{x^2} \cdot x^2 \cdot x \, dx$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x \, dx$,अतः $x \, dx = \frac{1}{2} dt$. $I = \frac{1}{2} \int t e^t \, dt$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. $u = t$ और $dv = e^t \, dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = e^t$ प्राप्त होता है। $I = \frac{1}{2} [t e^t - \int e^t \, dt] = \frac{1}{2} [t e^t - e^t] + C = \frac{1}{2} e^t (t - 1) + C$. $t = x^2$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$. $e^{x^2} f(x) + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = \frac{1}{2} (x^2 - 1)$ प्राप्त होता है। $f(1) = \frac{1}{2} (1^2 - 1) = 0$ जो सही है। अतः,$f(2) = \frac{1}{2} (2^2 - 1) = \frac{1}{2} (4 - 1) = \frac{3}{2}$.

यदि $\int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx = e^{x^2} f(x) + C$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है) और $f(1) = 0$ है,तो $f(2)$ का मान क्या होगा?

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