यदि $\sin (x+y)+\cos (x+y)=\sin \left[\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right]$ है,तो $\frac{d y}{d x}=$

यदि $2t = v^2$ है,तो $\frac{dv}{dt}$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x)$ एक सतत और अवकलनीय फलन है जो $f(x) \cdot f(f(x)) = x^2 + 1$,$f(1) = 2$,और $f'(1) = k$ को संतुष्ट करता है,तो $f'(2)$ का मान क्या है?

यदि $x+y=\tan ^{-1} y$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=f(y) \frac{d y}{d x}$ है,तो $f(y)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $y^3-3y+x=0$ द्वारा वास्तविक रेखा पर विभिन्न अंतरालों में निहित रूप से परिभाषित फलनों पर विचार करें। यदि $x \in(-\infty,-2) \cup(2, \infty)$,तो समीकरण एक अद्वितीय वास्तविक मान वाला अवकलनीय फलन $y=f(x)$ परिभाषित करता है। यदि $x \in(-2,2)$,तो समीकरण एक अद्वितीय वास्तविक मान वाला अवकलनीय फलन $y=g(x)$ परिभाषित करता है जो $g(0)=0$ को संतुष्ट करता है।
$1.$ यदि $f(-10 \sqrt{2})=2 \sqrt{2}$,तो $f^{\prime \prime}(-10 \sqrt{2})=$
$(A)$ $\frac{4 \sqrt{2}}{7^3 3^2}$ $(B)$ $-\frac{4 \sqrt{2}}{7^3 3^2}$ $(C)$ $\frac{4 \sqrt{2}}{7^3 3}$ $(D)$ $-\frac{4 \sqrt{2}}{7^3 3}$
$2.$ वक्र $y=f(x)$,$x$-अक्ष,और रेखाओं $x=a$ और $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल,जहाँ $-\infty < a < b < -2$,है
$(A)$ $\int_a^b \frac{x}{3\left((f(x))^2-1\right)} dx+bf(b)-af(a)$
$(B)$ $-\int_a^b \frac{x}{3\left((f(x))^2-1\right)} dx+bf(b)-af(a)$
$(C)$ $\int_a^b \frac{x}{3\left((f(x))^2-1\right)} dx-bf(b)+af(a)$
$(D)$ $-\int_a^b \frac{x}{3\left((f(x))^2-1\right)} dx-bf(b)+af(a)$
$3.$ $\int_{-1}^1 g^{\prime}(x) dx=$
$(A)$ $2g(-1)$ $(B)$ $0$ $(C)$ $-2g(1)$ $(D)$ $2g(1)$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

यदि $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ और $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ है,तो $x^3 y \frac{dy}{dx}$ का मान क्या होगा?