यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का एक रैखिक संयोजन है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}, \overline{b}$ और $\overline{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot[(\overline{a}+\overline{b}) \times(\overline{a}+\overline{c})]$ किसके बराबर है?

यदि सदिश $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ दिए गए हैं,तो $a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इन तीन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,तो $\lambda$ के किस मान के लिए समीकरण $[\lambda(\vec{a} + \vec{b}), \lambda^2\vec{b}, \lambda\vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{b}]$ सत्य है?

कथन-$1$: यदि बिंदु $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ और $(1, 1, 1)$ समतलीय हैं,तो $z = 2$ है।
कथन-$2$: यदि $4$ बिंदु $P, Q, R$ और $S$ समतलीय हैं,तो चतुष्फलक $PQRS$ का आयतन $0$ होता है।

यदि $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$ है,तो: