यदि a_i^2 + b_i^2 + c_i^2 = 1 (i = 1, 2, 3) औ | vedclass

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Question

(C) माना $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है।दी गई शर्तें यह दर्शाती हैं कि आव्यूह $A$ की पंक

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$1$

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(C) माना $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है।दी गई शर्तें यह दर्शाती हैं कि आव्यूह $A$ की पंक्तियाँ (या स्तंभ) ऑर्थोनॉर्मल सदिश हैं।विशेष रूप से,$a_i^2 + b_i^2 + c_i^2 = 1$ शर्त का अर्थ है कि प्रत्येक स्तंभ के तत्वों के वर्गों का योग $1$ है।$i 
e j$ के लिए $a_i a_j + b_i b_j + c_i c_j = 0$ शर्त का अर्थ है कि किन्हीं भी दो अलग-अलग स्तंभों का अदिश गुणनफल (dot product) $0$ है।अतः,$A^T A = I$,जहाँ $I$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है।दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A^T A| = |I| = 1$ प्राप्त होता है।चूँकि $|A^T| = |A|$,इसलिए $|A|^2 = 1$ है।अतः,सारणिक के वर्ग का मान $1$ है।

यदि $a_i^2 + b_i^2 + c_i^2 = 1$ $(i = 1, 2, 3)$ और $a_i a_j + b_i b_j + c_i c_j = 0$ $(i \ne j, i, j = 1, 2, 3)$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $A_{\lambda} = \begin{bmatrix} \lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & \lambda \end{bmatrix}; \lambda \in N$ है,तो $|A_1| + |A_2| + \dots + |A_{300}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}x-3 & 2x^2-18 & 2x^3-81 \\ x-5 & 2x^2-50 & 4x^3-500 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ है,तो $f(1) \cdot f(3)+f(3) \cdot f(5)+f(5) \cdot f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left|\begin{array}{lll}3 & 5 & x \\ 7 & x & 7 \\ x & 5 & 3\end{array}\right|=0$ के मूलों में से एक मूल $-10$ है, तो अन्य मूल क्या हैं?

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यदि समीकरणों की प्रणाली $ (k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3 $, $ (k+1) x + (k+2) y = k+3 $, और $ x + y = 1 $ सुसंगत है, तो $ k $ का मान ज्ञात कीजिए।

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