જો $P$ એ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પરનું એક બિંદુ હોય અને તેના નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ હોય,તો $\triangle S P S^{\prime}$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{49} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ઉપવલય $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{y^2}{9}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $S$ અને $S^{\prime}$ એ ઉપવલય $E$ ના નાભિઓ છે અને $B$ એ તેના ગૌણ અક્ષનો એક અંત્યબિંદુ છે. ધારો કે $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$ અને $(2 \sqrt{3}, 1)$ એ $E$ પરનું એક બિંદુ છે. જો $X$-અક્ષ એ ઉપવલય $E$ નો મુખ્ય અક્ષ અને $Y$-અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ હોય,તો મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ .............. $sq. \text{ units}$ છે.

ધારો કે $E$ એક ઉપવલય છે જેના અક્ષો યામ અક્ષોને સમાંતર છે,તેનું કેન્દ્ર $(3, -4)$ પર છે,એક નાભિ $(4, -4)$ પર છે અને એક શિરોબિંદુ $(5, -4)$ પર છે. જો $mx - y = 4$ જ્યાં $m > 0$ એ ઉપવલય $E$ નો સ્પર્શક હોય,તો $5m^{2}$ ની કિંમત ..... છે.