यदि $A$ और $B$ समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = B$ और $BA = A$,तो $A^{2} + B^{2}$ हमेशा किसके बराबर है?

माना कि $\theta = \frac{\pi}{5}$ और $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. यदि $B = A + A^4$ है,तो $\det(B)$

मान लीजिए $M$ पूर्णांक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ सममित आव्यूह है। तो $M$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है यदि:

मान लीजिए $M$ और $N$ $\mathbb{R}$ पर $2$ कोटि के दो व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह हैं,जहाँ $N$ एक विकर्ण आव्यूह है। तो $M N M^{-1}$ विकर्ण आव्यूह होगा . . . . . .

यदि $x, y$ कोई भी दो शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं, $a_{i j} = xi + yj$, $A = \{a_{i j}\}_{n \times n}$ और $P, Q$ दो $n \times n$ आव्यूह इस प्रकार हैं कि $A = xP + yQ$, तो

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I$. ऐसे दो त्रिभुज हो सकते हैं कि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ $1 \text{ cm}$ से कम हों जबकि दूसरे त्रिभुज की सभी भुजाएँ $10 \text{ m}$ से बड़ी हों,लेकिन पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो।
$II$. यदि $x, y, z$ सभी अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ केवल $x$ के एक वास्तविक मान के लिए सत्य है।
$IV$. एक आव्यूह में $12$ अवयव हैं। इसकी संभावित कोटियों की संख्या $6$ है। अब सही विकल्प इंगित करें।