माना कि $\theta = \frac{\pi}{5}$ और $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. यदि $B = A + A^4$ है,तो $\det(B)$

यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,तो $|(A-A^T)+(B-B^T)|=$

माना $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & b & 1 \end{bmatrix}$ और $\operatorname{adj} M = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $a+b=3$
$(2)$ $\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = 81$
$(3)$ $(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj} M^{-1} = -M$
$(4)$ यदि $M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,तो $\alpha - \beta + \gamma = 3$

मान लीजिए $A$ और $B$ $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,जहाँ $A$ एक सममित आव्यूह है और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है। तो रैखिक समीकरण निकाय $(A^2 B^2 - B^2 A^2) X = 0$,जहाँ $X$ अज्ञात चरों का $3 \times 1$ स्तंभ आव्यूह है और $0$ एक $3 \times 1$ शून्य आव्यूह है,के:

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों पर विचार करें:
$ax+by+cz=0$,$bx+cy+az=0$,$cx+ay+bz=0$
स्तंभ $I$ में दी गई शर्तों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए कथनों के साथ सुमेलित करें:

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(p)$ समीकरण केवल एक बिंदु पर मिलने वाले समतलों को दर्शाते हैं।
$(B)$ $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(q)$ समीकरण रेखा $x=y=z$ को दर्शाते हैं।
$(C)$ $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(r)$ समीकरण समान समतलों को दर्शाते हैं।
$(D)$ $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(s)$ समीकरण संपूर्ण त्रिविमीय आकाश को दर्शाते हैं।

माना न्यूनतम $m$ $(m \in Z^+)$ एक वर्ग आव्यूह $A$ की घात के रूप में परिभाषित है ताकि $A^m = I$ हो। यदि $A^5 = I$ और $ABA^{-1} = B^2$ है,तो आव्यूह $B$ की घात $k$ जिसके लिए $B^k = I$ हो,किसके बीच है?