मान लीजिए A और B 3 times 3 वास्तविक आव्यूह है | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $P = A^2 B^2 - B^2 A^2$ है। $P$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर: $P^T = (A^2 B^2 - B^2 A^2)^T = (A^2 B^2)^T - (B^2 A^2)^T$। गुणधर्म $(XY)^T =

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अनंत हल हैं

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(D) मान लीजिए $P = A^2 B^2 - B^2 A^2$ है। $P$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर: $P^T = (A^2 B^2 - B^2 A^2)^T = (A^2 B^2)^T - (B^2 A^2)^T$। गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर: $P^T = (B^2)^T (A^2)^T - (A^2)^T (B^2)^T$। चूंकि $A$ सममित है $(A^T = A)$ और $B$ विषम-सममित है $(B^T = -B)$,हमें प्राप्त होता है $(A^2)^T = (A^T)^2 = A^2$ और $(B^2)^T = (B^T)^2 = (-B)^2 = B^2$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P^T = B^2 A^2 - A^2 B^2 = -(A^2 B^2 - B^2 A^2) = -P$। चूंकि $P^T = -P$,$P$ एक विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि $n$ (यहाँ $n=3$) के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $P$ के लिए,सारणिक $\det(P) = 0$ होता है। चूंकि $\det(P) = 0$,निकाय $PX = 0$ का एक अशून्य हल होता है,जिसका अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं।

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