यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{vmatrix} = 0$ है,तो:

$3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$\text{trace}(M)$ को $M$ के सभी विकर्ण तत्वों के योग के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $|A|=\frac{1}{2}$ और $\text{trace}(A)=3$ है। यदि $B=\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))$ है,तो $|B|+\text{trace}(B)$ का मान क्या होगा?

माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $|A| = 2$ है। यदि $|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2 A))| = 32^n$ है,तो $3n + \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\omega (\neq 1)$ इकाई का घनमूल है,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 + i + \omega^2 & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c, d, e, f$ एक $G.P.$ में हैं,तो $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & d^2 & x \\ b^2 & e^2 & y \\ c^2 & f^2 & z \end{array} \right|$ का मान किस पर निर्भर करता है?

मान लीजिए कि $M$ क्रम $3 \times 3$ के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और $S=\{-3,-2,-1,1,2\}$ है। मान लीजिए $S_1=\{A=[a_{ij}] \in M: A=A^{T} \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,$S_2=\{A=[a_{ij}] \in M: A=-A^{T} \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,और $S_3=\{A=[a_{ij}] \in M: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$ है। यदि $n(S_1 \cup S_2 \cup S_3)=125 \alpha$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।