यदि $A$ कोटि $3 \times 3$ का कोई वर्ग आव्यूह है,तो $|3A|$ किसके बराबर है?

सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=4 a^{2} b^{2} c^{2}$

सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} (a^x + a^{-x})^2 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \\ (b^x + b^{-x})^2 & (b^x - b^{-x})^2 & 1 \\ (c^x + c^{-x})^2 & (c^x - c^{-x})^2 & 1 \end{array} \right|$

मान लीजिए $D_1 = \begin{vmatrix} a & b & a+b \\ c & d & c+d \\ a & b & a-b \end{vmatrix}$ और $D_2 = \begin{vmatrix} a & c & a+c \\ b & d & b+d \\ a & c & a+b+c \end{vmatrix}$ है। तो $\frac{D_1}{D_2}$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $b \neq 0$ और $ad \neq bc$ है।

मान लीजिए $D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ और $D' = \begin{vmatrix} a_1 + pb_1 & b_1 + qc_1 & c_1 + ra_1 \\ a_2 + pb_2 & b_2 + qc_2 & c_2 + ra_2 \\ a_3 + pb_3 & b_3 + qc_3 & c_3 + ra_3 \end{vmatrix}$,तो

कथन-$1$: $3$ कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) का सारणिक शून्य होता है।
कथन-$2$: $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ होता है।