सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=4 a^{2} b^{2} c^{2}$

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ से $a$,$C_{2}$ से $b$ और $C_{3}$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & a+c \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c\end{array}\right|$.
$C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1} - C_{2}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & 0 \\ a+b & b & -b \\ b & b+c & -b\end{array}\right|$.
$R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{2}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & 0 \\ a+b & b & -b \\ -a & c & 0\end{array}\right|$.
$C_{3}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = abc \cdot (b) \cdot (ac - (-ac)) = abc \cdot b \cdot (2ac) = 2a^2b^2c^2$.
(नोट: प्रश्न में दिया गया परिणाम $4a^2b^2c^2$ है,जो गणना के अनुसार $2a^2b^2c^2$ प्राप्त होता है।)