यदि x, y, z in mathbb{R} है,तो सारणिक left|be | vedclass

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Question

(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ क

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(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ के रूप के किसी भी पद के लिए,परिणाम $4(n^x)(n^{-x}) = 4(n^0) = 4$ होता है। स्तंभ संक्रिया $C_1 ightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार बनता है: $C_1 = \begin{bmatrix} (5^x + 5^{-x})^2 - (5^x - 5^{-x})^2 \ (6^x + 6^{-x})^2 - (6^x - 6^{-x})^2 \ (7^x + 7^{-x})^2 - (7^x - 7^{-x})^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 4 \ 4 \end{bmatrix}$. अब सारणिक $\left|\begin{array}{ccc} 4 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \ 4 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \ 4 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}ight|$ है। चूंकि पहले स्तंभ में समान अवयव $(4)$ हैं,हम सारणिक से $4$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \ 1 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \ 1 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}ight|$. चूंकि स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $4 	imes 0 = 0$ है।

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यदि $2^{a_1}, 2^{a_2}, 2^{a_3}, \dots, 2^{a_n}$ एक $G.P.$ में हैं,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_{n+1} & a_{n+2} & a_{n+3} \\ a_{2n+1} & a_{2n+2} & a_{2n+3} \end{array} \right|$ का मान क्या होगा?

सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} 1/a & 1 & bc \\ 1/b & 1 & ca \\ 1/c & 1 & ab \end{array} \right|$

मान लीजिए $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$ है। यदि $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|=3(a+b+c)(a b+b c+c a)$

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