यदि begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} y | vedclass

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Question

(D) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix}$ है।$R_1, R_

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$k=-1$

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(D) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix}$ है।$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $x^k, y^k, z^k$ उभयनिष्ठ लेने पर:$\Delta = (xyz)^k \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \ 1 & y^2 & y^3 \ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$।सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \ 1 & y^2 & y^3 \ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$ का मान $(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$ होता है।अतः, $\Delta = (xyz)^k (x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$।हम $(xy+yz+zx) = xyz \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}ight)$ लिख सकते हैं।इसलिए, $\Delta = (xyz)^k (xyz) (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}ight) = (xyz)^{k+1} (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}ight)$।इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $(x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}ight)$ से करने पर, हमें $(xyz)^{k+1} = 1$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है कि $k+1 = 0$, अतः $k = -1$।

यदि $\begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \\ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \\ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix} = (x-y)(y-z)(z-x)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\Delta = \begin{vmatrix} a + x & b & c \\ b & x + c & a \\ c & a & x + b \end{vmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सारणिक का एक गुणनखंड है?

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सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c\end{array}\right|=abc\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=abc+bc+ca+ab$.

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