यदि left|begin{array}{ccc}1+sin ^{2} theta & | vedclass

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Question

(D) दिया गया सारणिक समीकरण:$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} 	heta & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ \sin ^{2} 	heta & 1+\cos ^{2} 	heta &

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$\frac{1}{2}$

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(D) दिया गया सारणिक समीकरण:$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} 	heta & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ \sin ^{2} 	heta & 1+\cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ \sin ^{2} 	heta & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta-1\end{array}ight|=0$स्तंभ संक्रिया $C_{1} ightarrow C_{1}+C_{2}$ लागू करने पर:$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} 	heta+\cos ^{2} 	heta & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ \sin ^{2} 	heta+1+\cos ^{2} 	heta & 1+\cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ \sin ^{2} 	heta+\cos ^{2} 	heta & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta-1\end{array}ight|=0$चूंकि $\sin ^{2} 	heta+\cos ^{2} 	heta=1$,इसलिए यह समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ 2 & 1+\cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ 1 & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta-1\end{array}ight|=0$अब पंक्ति संक्रिया $R_{2} ightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} ightarrow 2 R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta \ 0 & 1 & 0 \ 0 & \cos ^{2} 	heta & 4 \sin 2 	heta-2\end{array}ight|=0$प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$2 	imes [1 	imes (4 \sin 2 	heta-2) - 0] = 0$$8 \sin 2 	heta-4=0 \Rightarrow \sin 2 	heta=\frac{1}{2}$अब,सर्वसमिका $\cos 4 	heta=1-2 \sin ^{2} 2 	heta$ का उपयोग करने पर:$\cos 4 	heta=1-2\left(\frac{1}{2}ight)^{2}=1-2\left(\frac{1}{4}ight)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

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यदि $A=\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|$ और $B=\left|\begin{array}{ccc}c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ है,तो

$\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ . . . . . . .

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|=\left(1-x^{3}\right)^{2}$

यदि $\left| \begin{matrix} x - 4 & 2x & 2x \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right| = (A + Bx)(x - A)^2$ है,तो क्रमित युग्म $(A, B) = $ . . . . .

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