यदि alpha, beta, gamma समीकरण x^3+px^2+qx+r=0 | vedclass

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Question

(D) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार: $\alpha+\beta+\gamma = -p$ $\alpha\beta+\b

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$pq-r$

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(D) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार: $\alpha+\beta+\gamma = -p$ $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$ $\alpha\beta\gamma = -r$ हम जानते हैं कि $\alpha+\beta = -p-\gamma$,$\beta+\gamma = -p-\alpha$,और $\gamma+\alpha = -p-\beta$। अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (-p-\gamma)(-p-\alpha)(-p-\beta) = -(p+\gamma)(p+\alpha)(p+\beta)$। मान लीजिए $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3+px^2+qx+r$। तब $f(-p) = (-p-\alpha)(-p-\beta)(-p-\gamma) = (-p)^3+p(-p)^2+q(-p)+r = -p^3+p^3-pq+r = r-pq$। चूंकि $f(-p) = -(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma)$,इसलिए $-(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma) = r-pq$। अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = pq-r$।

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ के मूल हैं,तो $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=$

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