यदि ${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक छात्र को $(2n+1)$ पुस्तकों के संग्रह से अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है। यदि कम से कम एक पुस्तक चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी में से $5$ पत्तों के ऐसे संयोजनों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें प्रत्येक संयोजन में ठीक एक इक्का हो:

$15$ समान सोने के सिक्कों को $3$ व्यक्तियों के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक को कम से कम $3$ सोने के सिक्के मिलें।

एक चुनाव में,उम्मीदवारों की संख्या चुने जाने वाले व्यक्तियों से $1$ अधिक है। यदि एक मतदाता $254$ तरीकों से वोट दे सकता है,तो उम्मीदवारों की संख्या है:

$n$ छात्रों में से पाँच छात्रों का चयन इस प्रकार किया जाता है कि $2$ विशेष छात्रों के चयन के तरीकों की संख्या और $2$ विशेष छात्रों के चयन न होने के तरीकों की संख्या का अनुपात $2:3$ है। तो $n$ का मान है