यदि (1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ldo | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_{2n} x^{2n}$।$x$ को $-1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(1 - 1/x

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(B) दिया गया है कि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_{2n} x^{2n}$।$x$ को $-1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(1 - 1/x + 1/x^2)^n = c_0 - c_1/x + c_2/x^2 - \ldots + c_{2n} (-1/x)^{2n}$$(x^2 - x + 1)^n / x^{2n} = (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}) / x^{2n}$अतः,$(1 - x + x^2)^n = c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}$।अब,गुणनफल $(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots) (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots)$ पर विचार करें।पद $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ इन दो श्रेणियों के गुणनफल में $x^{2n-1}$ का गुणांक है।$(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = ((1+x^2)+x)^n ((1+x^2)-x)^n = ((1+x^2)^2 - x^2)^n = (1 + 2x^2 + x^4 - x^2)^n = (1 + x^2 + x^4)^n$।$(1 + x^2 + x^4)^n$ के विस्तार में,केवल $x$ की सम घातें मौजूद होती हैं।चूंकि $2n-1$ एक विषम संख्या है,इसलिए $x^{2n-1}$ का गुणांक $0$ है।अतः,$c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots = 0$।

यदि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots$ है,तो $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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