$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ में $x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग क्या है?

मान लीजिए कि $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में परिमेय पदों की संख्या $K$ है। यदि $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ के विस्तार में $x^{P} \quad(P \in N)$ का गुणांक $\alpha_{P}$ है,तो $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$

मान लीजिए $(1+x+x^2)^{2014} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_{4028} x^{4028}$. मान लीजिए $A = a_0 - a_3 + a_6 - \ldots + a_{4026}$,$B = a_1 - a_4 + a_7 - \ldots - a_{4027}$,और $C = a_2 - a_5 + a_8 - \ldots + a_{4028}$. तो,

$(1 + t^2)^{12}(1 + t^{12})(1 + t^{24})$ के विस्तार में $t^{24}$ का गुणांक है

मान लीजिए $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ और $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ जहाँ $q$ एक वास्तविक संख्या है और $q \ne 1$ है। यदि $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $(1+x+x^2)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{20} x^{20}$ है। यदि $(a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{19})-11 a_2=121 k$ है,तो $k$ का मान . . . . . . है।