मान लीजिए कि $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में परिमेय पदों की संख्या $K$ है। यदि $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ के विस्तार में $x^{P} \quad(P \in N)$ का गुणांक $\alpha_{P}$ है,तो $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$

संख्या $(512)^3 - (253)^3 - (259)^3$ के भिन्न अभाज्य विभाजकों की संख्या है

$(1 + t^2)^{12}(1 + t^{12})(1 + t^{24})$ के विस्तार में $t^{24}$ का गुणांक है

जब बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{22}$ को $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{11}$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

माना $k \in N$ का न्यूनतम मान $p$ है, जिसके लिए $(1+x)^3 + (1+x)^4 + \dots + (1+x)^{99} + (1+kx)^{100}, x \neq 0$ में $x^3$ का गुणांक किसी $n \in N$ के लिए $(43n + \frac{101}{4}) ({}^{100}C_3)$ है। तो $p+n$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ और $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ जहाँ $q$ एक वास्तविक संख्या है और $q \ne 1$ है। यदि $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।